最近这段时间总有小伙伴问小编精算分享（2）-久期及凸度是什么，小编为此在网上搜寻了一些有关于精算分享（2）-久期及凸度的知识送给大家，希望能解答各位小伙伴的疑惑。
【资料图】
久期(Duration)，一般用于描述债券价值对利率变化的敏感程度。久期有着多种衡量方式，比较常见的有麦考利久期(Macaulay Duration)，修正久期(Modified Duration)以及有效久期(Effective Duration)。
简单的在微分表达式下，久期的定义为：
D = (dP/dr)/P，其中P为该现金流对应的现值，r代表现金流的贴现率。
通常情况下，我们看到的现金流都是离散的。在离散情形下，麦考利久期可以表示为：
从上式中可以知道，已一个10年期零息票债券为例，该债券久期便是10.
麦考利久期以及修正久期，两者之前存在着简单的数学关系：
MacD = ModD * (1+r)
麦考利久期及修正久期在现金流简单时使用非常方便，但当现金流较为复杂时，比如可赎回债券，久期较难表达为前述的表达式。此时，用有效久期较为方便，其表达式为：
其中P-和P+是在利率R+和R-的情况下对应的现金流价格。
虽然久期有不同的表达，但都具有相似的性质：
相同息票率情况下，债券期限越长久期越大
相同期限下，息票率越低，久期越大
期限与息票率相同的情况下，到期收益率越低，久期越大
凸度(Convexity)，是用于描述现金流价值随利率变化而作出的非线性变化。在久期概念中可以看到，久期将现金流价值与利率变化之间的关系描述为线性关系。然而，在实际情况中发现，当利率下降时，现金流价值的上升会高于当利率上升时现金流价值的下降，这说明了两者之间的关系并非完全线性。凸度的出现，便是弥补了这个缺陷。凸度的数学定义为：
结合久期以及凸度，现金流价值变动的表达式可以表达为：
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